分的”。

     但事实上，哥德尔只证明了：第一，就像我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题是无法被你证明的。

    第二，数学本身不能用来证明自身的内部一致性。

     这是因为公理系统的力量存在着明显的局限性。

    但这种局限性并不会影响到人类大脑的思维能力，因为人类的思维本身并不是公理系统。

    我们总靠类比和比喻来思考，我们总以直觉和本能为指导，我们一边前进一边改变规则。

    人类的思维充满了偶然性的混杂，这导致我们经常犯错误，但正是因为这样，人类的思维完全不受哥德尔不完备性定理的约束。

     对第一种错误论调只说这么多就够了。

    第二种错误论调就更有趣了。

     第二种论调是这样的：一台基于数学公理（所谓皮亚诺公理）运行的计算机，无法证明海格力斯可以击败九头蛇。

    ①但是，因为我们都知道数学是具有一致性的，所以你和我都知道海格力斯是可以击败九头蛇的。

    因此，你和我都知道那些连计算机都证明不了的东西。

    所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。

     当我还是个孩子的时候，我有一个绝对好玩的玩具叫“第一代数码计算机”。

    我很高兴地看到，在销声匿迹几十年后，这款玩具又出现在了市场上。

    “第一代数码计算机”完全就是一台机械计算器：它利用弹簧和橡皮筋来运行，而且你必须使用一个工具来初始化它的状态。

    编程的办法是把细小的塑料管（从饮料吸管剪下来的）贴上合适的标签，而运行程序的办法则是推动当中的一个杠杆。

    计算机的背面完全暴露在外面，所以你能看到塑料管、橡皮筋互相推来推去。

    玩过“第一代数码计算机”的孩子可以深刻洞察到计算机的工作原理。

     你可以用“第一代数码计算机”编程来设计游戏，尽管设计出来的游戏不可能太复杂。

    它的计数能力最多只有8位。

    我可以下棋（但不是绝顶高手），而且我可以准确地预计出300种可能发生的情况。

    这是否证明我的大脑比任何计算机都强大呢？不，这只能证明我的大脑比“第一代数码计算机”强大。

     同样，海格力斯打九头蛇的游戏也只能证明你和我的大脑比某些计算机强大，并不能证明它们比任何计算机都强大。

    一台只能依照皮亚诺公理运转的计算机是不能得出海格力斯总是可以击败九头蛇的结论的。

    但一台依照皮亚诺公理和表明数学内部一致性的“超级公理”（或者就此而言，证明海格力斯总可以击败九头蛇的公理）运转的计算机可以很容易得出这样的结论。

     不完备的人类思维（2） 如果你真的想要提出一个哥德尔式的命题，比如人类的思维能力比计算机的运算能力更强大，你不如把论证做得更漂亮些。

    下面便是一种尝试：你和我“刚刚发现”，一旦你接纳了数学公理，你就可以同样接纳“超级公理”。

    你可以断言，没有电脑可以产生这样的跳跃性思维。

     不幸的是，针对这个命题，我们可以很容易就制造出一台能产生这样的跳跃性思维的计算机。

    首先，你将皮亚诺公理输入计算机。

    然后，你按下计算机边上的蓝色运行按钮。

    当按钮被按下时，一个新的公理便被加入了，其内容正是，计算机已经检验到目前已知的公理都是具有一致性的。

    最终，你不妨给计算机加装一条机器臂，以至于它每次需要使用一个新公理来做证明时，它都可以自己去按下那个蓝色按钮。

     现在，我们已经制造出一台能够“只意识到”添加“超级公